L’inutilité fondamentale

C’est tout un art de convaincre ses élèves que ce qu’ils apprennent en mathématiques a du sens et va leur servir.

Avez-vous déjà essayé de choisir un nombre, de faire la somme des carrés de ses chiffres, puis de réitérer l’opération avec ce nouveau nombre obtenu, et ainsi de suite un grand nombre de fois ?

Non ? Eh bien vous devriez, car la découverte est des plus surprenantes ! En effet, quel que soit le nombre que vous prenez au départ, vous n’avez que deux possibilités : soit vous obtenez à un moment donné uniquement des « 1 », soit vous tombez dans la boucle 89, 145, 42, 18, 65, 61, 37, 58 puis de nouveau 89, 145, et ainsi de suite.

Vous n’avez rien compris ? Prenons l’exemple du nombre 3 153. Le nombre de l’étape suivante est donné par le calcul 3 x 3 + 1 x 1 + 5 x 5 + 3 x 3 = 44. On réitère avec 44 : 4 x 4 + 4 x 4 = 32. Puis 32 : 3 x 3 + 2 x 2 = 13. Ensuite 13 : 1 x 1 + 3 x 3 = 10. Dès l’étape suivante (1 x 1 + 0 x 0 = 1), comme vous n’aurez plus que des 1 et des 0, cela ne changera plus, vous n’obtiendrez guère que des 1.

Autre exemple avec 42 qui devient, avec le même procédé, successivement 20 puis 4, 16, 37, 58, 89, 145 puis de nouveau 42, 18, 65 et ainsi de suite (d’où le terme de « boucle »).

Vous pouvez essayer n’importe quel autre nombre, vous tomberez sur une de ces deux possibilités. On appelle ce procédé l’algorithme de Prabekhar. Dans notre vie quotidienne, cela ne sert à rien, je l’avoue. D’un point de vue mathématique, c’est une curiosité qui ne sert pas à grand-chose non plus. Par contre c’est drôle, non ? Là, vous vous dites (si vous n’avez pas abandonné la lecture à ce stade de l’article) : « O.K., encore un humour de matheux. Ils viennent vraiment d’une autre planète, c’est pas pour moi ces machins-là, et en plus ça sert à rien ! »

Expliquez-moi alors pourquoi quatre de mes élèves de REP+ ont passé tous leurs mardis de 17 h à 18 h à conjecturer ce résultat pour, au final, réussir à le démontrer (oui oui, des collégiens peuvent le démontrer !) ?

Cet algorithme est en effet un des nombreux sujets proposés à mes collégiens volontaires pour participer aux ateliers MATh.en.JEANS pendant toute une année scolaire.

Extraire les chiffres des nombres

Prenons le temps de détailler tout ce qu’ont fait mes élèves en passant autant de temps sur ce truc inutile : ils ont cherché d’abord, surtout que leur professeur de l’époque (moi) n’en savait pas beaucoup plus qu’eux (cela n’apparait dans aucun programme). Ils ont donc fait des essais, des calculs, beaucoup de calculs, pour au final conjecturer sur les deux types de résultats possibles. Ils y ont d’abord vu un défi à relever, puis se sont pris au jeu au fur et à mesure de l’avancée de leur recherche et de la découverte de cette curiosité. Afin de gagner du temps (parce que calculer et écrire tous les calculs intermédiaires, ça peut devenir pénible), ils ont utilisé l’outil informatique pour que l’ordinateur fasse les calculs à leur place. Sauf qu’extraire les chiffres d’un nombre à l’aide d’un tableur ou d’un logiciel de programmation, c’est pas du tout évident. Il faut maitriser notre système de numération, diviser, prendre la partie entière, soustraire, etc. Mais le gain de temps pour les futurs essais en vaut la peine ! Ensuite, il faut essayer de démontrer le résultat (et y arriver cette fois-ci, mais ce n’est pas toujours le cas, on n’y arrive pas toujours et ce n’est pas grave).

Chercheurs et élèves en congrès

Comme pour tout chercheur qui se respecte, le résultat de la recherche doit pouvoir être communiqué. Les élèves ont donc préparé un diaporama présentant les étapes de leur recherche, leurs résultats, leur démonstration. Les voilà enfin prêts pour présenter ce diaporama lors du congrès MATh.en.JEANS qui réunit pendant trois jours à l’université d’autres groupes d’élèves d’horizons différents, des enseignants et surtout des chercheurs en mathématiques ! Il faut les voir, mes élèves, prendre le micro et présenter le fruit de leur travail dans un amphithéâtre bien rempli (et attentif pour le coup), répondre à des questions venant aussi bien d’autres élèves que de chercheurs, tous intéressés par leurs découvertes. Il leur a fallu au préalable répéter, beaucoup répéter, pour être prêts à passer (« Vous êtes sûr monsieur qu’on ne peut pas écrire tout notre texte sur la diapo ? — Non ! Tu dois savoir expliquer sans lire. Et regarde le public ! »). D’autant que plus le moment de la présentation approche, plus le stress monte. Pendant ces trois jours, on ne les a pas considérés comme des élèves, encore moins des élèves de REP+, mais comme des pairs respectés pour la qualité de leur travail et pour lesquels des chercheurs ont présenté des conférences spécialement pour eux.

L’intérêt mathématique de leur découverte a peu importé, au final. Tout cela pour un algorithme qui ne sert à rien. Par contre, les compétences développées par ces élèves sont nombreuses et solides (« chercher, calculer, raisonner, communiquer », etc.). Sans compter la reconnaissance de leur travail par des experts, qu’ils n’auraient même pas imaginé côtoyer au début de l’année scolaire. L’estime de soi, la fierté, le bienêtre de nos élèves peuvent aussi passer par cette recherche d’excellence à la portée de chacun d’eux, pour peu qu’on veuille croire en leurs capacités et les accompagner. Cet algorithme, on ne peut pas le faciliter, le modifier pour le rendre plus accessible. Il faut s’y atteler et persévérer ! Finalement, ce drôle de sujet de mathématiques s’est révélé on ne peut plus fondamental !

Baptiste Hebben
Professeur de mathématiques en collège et formateur

Article paru dans le n° 573 des Cahiers pédagogiques, en vente sur notre librairie :

 

 

Les maths, est-ce que
ça compte ?

Coordonné par Baptiste Hebben et Claire Lommé
Tous les acteurs de l’enseignement se trouvent confrontés à la question des « bases » ou des « fondamentaux » : pour effectuer des choix dans les programmations, pour remédier aux difficultés d’élèves, pour proposer des évaluations. Quelles sont les mathématiques que l’on doit enseigner aujourd’hui ?