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N° 529 - Des maths pour tous

Une définition permet-elle d’accéder au sens ?

Françoise Colsaet

On s’aperçoit souvent que les définitions mathématiques que l’on donne aux élèves ne les incitent pas à (se) poser des questions et à bien saisir le sens de ce que l’on veut leur faire apprendre. Comment faire autrement ?

Le déroulement «  classique  » d’une séance, en 2de, comporte souvent une ou plusieurs situation (s) d’introduction, partant d’un problème, ou d’un exemple concret… puis un «  cours  » : définition, vocabulaire, exemples, et des exercices pour entraîner les «  savoir-faire  », et des «  problèmes  ». Et ça marche ? Non, ça ne «  fonctionne  » pas ! Les élèves ne voient pas le lien entre la définition donnée dans le cours et les situations étudiées avant, ni avec les problèmes qu’il faut résoudre ensuite. Je voudrais revenir sur la question de la «  définition  », que le professeur de mathématiques se sent souvent tenu de donner, «  précisément  », «  rigoureusement  », et assez vite dans le «  cours  »…

Définitions de «  définition  »

Une définition, c’est un «  ensemble formé par le terme défini (sujet) et une formule brève […] capable d’en susciter l’élaboration  » (dictionnaire Robert). D’après les dictionnaires de mathématiques, c’est, plus sèchement : «  une définition d’un terme mathématique est toute proposition dont il est une abréviation  » (Dictionnaire des mathématiques, Alain Bouvier et Michel George, PUF, 1979, p. 203). Un mathématicien peut alors utiliser ce nouveau terme sans avoir à revenir sur le détail de la définition. Mais, précisément, l’élève n’est pas un mathématicien : il n’a pas acquis le recul nécessaire sur les mathématiques pour qu’une «  définition  » constitue pour lui un point d’appui pour accéder au sens de la notion. En fait, quand le mathématicien introduit un nouveau terme, une nouvelle notion, il ne la crée pas ex nihilo, a priori : la définition d’une nouvelle notion vient après les questions, les problèmes dont la résolution pourra progresser grâce à elle.

Cependant, toutes les définitions en mathématiques ne se heurtent pas aux mêmes obstacles. Prenons deux exemples :

  • quand on dit «  la racine carrée de 2 est le nombre positif dont le carré est 2  », on donne un nom et un symbole pour un objet mathématique qui entre dans une catégorie déjà connue des élèves : «  les nombres  ». Même si les contours en sont encore flous, un élève sait, peu ou prou, qu’avec des nombres, on peut les représenter sur un «  axe  », effectuer des opérations, etc. ;
  • dans le cas de la définition d’une notion entièrement neuve (« fonction  » en 3e- 2de, par exemple), il importe de faire travailler ce qu’on peut faire avec ce nouvel objet, avant de considérer que la notion sera à peu près saisie.

Le rôle d’une définition

Une réticence souvent entendue : «  Alors, si on ne donne pas la définition, ils ne sauront pas dire ce qu’est une fonction ?  »

Qu’est-ce qui nous importe, à l’école, au collège, au lycée ? Est-ce que l’élève récite la «  définition  » d’une fonction numérique (voir encadré), ou qu’il ait assimilé en quoi la notion de fonction va pouvoir intervenir dans des résolutions de problèmes, ce qu’elle va y apporter, quels sont les «  attributs  » de la notion de fonction qui vont pouvoir opérer pour résoudre ces problèmes ?

On n’a pas pour objectif, en 2de, que tous les ressorts de la notion de fonction soient assimilés. Quand les élèves vont-ils avoir vraiment besoin de comprendre ce qu’est l’objet mathématique fonction, «  f  », et pas «  f (x) =… » ? Le premier obstacle sera l’introduction de la fonction dérivée en 1re, mais là encore, c’est précisément la nécessité de penser «  f  » et sa dérivée comme deux fonctions qui fera avancer alors la maîtrise de la notion. Peut-être même serait-il plus formateur, dans certaines séries, de faire travailler longuement les élèves à partir des aspects numériques, graphiques et algorithmiques des fonctions, autour des types de problèmes, et sans avoir peur de résolutions «  approchées  », plutôt que de leur faire manipuler comme des automates des calculs de dérivées.

Il s’agit donc de faire émerger des questions, de se servir de ce qu’on sait déjà, ne pas chercher à répondre à tout, accepter le provisoire, le chantier en construction, prendre le temps de réfléchir, de mettre en place des outils de calcul, pour formaliser seulement plus tard, parfois bien plus tard, en explicitant les questions de vocabulaire. Je reste convaincue que c’est ainsi qu’on peut amener nos élèves à une meilleure compréhension des notions mathématiques et de leur intérêt pour résoudre des problèmes.

Un exemple de travail sur différents «  aspects  » d’une fonction

Les élèves sont par groupes de 3. Ils ont un énoncé qui commence, pour tous, par la même situation :

«  Un industriel fabrique une machine qui lance des balles de tennis (pour l’entraînement). Pour l’essayer et la mettre au point, on analyse la trajectoire de la balle lancée par la machine et on la compare à la trajectoire recherchée. On place la machine au bout du terrain, et on regarde la hauteur de la balle (notée y) en fonction de la distance parcourue (notée x). Vous êtes l’ingénieur chargé de l’étude…  ». Puis :

  • certains groupes (groupes de type 1) ont ensuite : «  vous filmez la trajectoire de la balle, et vous obtenez cette courbe :  », avec une courbe (qui n’est pas exactement une parabole) ;
  • les groupes de type 2 ont : «  vous avez fait des calculs théoriques, qui vous ont assuré que la courbe idéale correspond à la «  formule   » suivante : y =-0,013x3 + 0,035x² + 1,1x + 0,5  » ;
  • les groupes de type 3 ont : «  vous mettez en place des capteurs optiques, et un ordinateur qui enregistre la position de la balle, et donne le tableau de valeurs suivant :  », avec un tableau de 11 couples de valeurs de x et y.

Ensuite, ils ont une série de questions :

  • les deux premières sont destinées à les faire s’interroger sur les possibilités d’obtenir les éléments que l’énoncé ne leur a pas donnés : pour les groupes de type 1, c’est : compléter un tableau de valeurs, et «  Pouvez-vous trouver une formule qui exprime y en fonction de x ?  » ; pour les groupes 2, compléter un tableau de valeurs, et «  Pouvez-vous tracer sur un dessin la trajectoire idéale de la balle ?  » ; les groupes 3, eux, doivent tracer la trajectoire de la balle, et dire s’ils peuvent «  trouver une formule qui exprime y en fonction de x  » ;
  • les trois questions suivantes sont les mêmes pour tous les groupes : «  A quelle distance du point de départ la balle est-elle à 3 m de hauteur ?  », «  Jusqu’à quelle distance de son point de départ la balle s’élève-t-elle ?  », et «  Au départ, la balle s’élève régulièrement, la trajectoire est presque droite : de combien augmente la hauteur pour chaque mètre parcouru ?  ».

Dans une deuxième phase de travail, on met en commun, ou bien en regroupant les élèves par trois avec un élève de chaque type des groupes précédents, et en leur demandant de confronter leurs réponses, d’en tirer des conclusions ; ou bien directement en classe entière. On arrive à une synthèse qui énonce par exemple : «  On a vu qu’une fonction peut se présenter sous trois formes : une “formule”, une représentation graphique, un ou des tableaux de valeurs.  », puis qui liste ce qu’on sait faire ou pas à partir d’une «  formule  », d’un tableau, d’un graphique, ainsi que les questions ou difficultés que cela présente, et ce qu’on va apprendre dans les mois qui suivent.

Ce qu’on a vu dans ce TD… Mais… Ce qui nous reste donc à apprendre…
À partir de la «  formule  » on sait faire un tableau de valeurs donc tracer une représentation graphique les calculs sont longs et répétitifs et le dessin est long aussi comment mieux utiliser la calculatrice graphique pour cela
À partir du tableau de valeurs on sait tracer une représentation graphique entre les points qu’on place grâce au tableau, sait-on comment est la courbe ? Comment relier les points ? dans les chapitres suivants et en 1re et en terminale, cette question sera au centre du travail sur les fonctions
À partir de la représentation graphique on sait lire des valeurs approchées, donc faire un tableau de valeurs… approchées sait-on trouver une formule ? Oui si la représentation graphique est une droite… ; et sinon ? on reverra comment on trouve la «  formule  » pour une droite
et on commencera dans l’année et en 1re à savoir aussi la trouver pour d’autres fonctions

Françoise Colsaet
Enseignante de mathématiques en retraite

 

De la difficulté de définir ce qu’est une fonction…

 

La «  définition  » donnée en seconde de la notion de fonction ressemble en général à : «  On appelle fonction numérique un moyen, un procédé, qui permet, à partir d’un nombre x, de lui faire correspondre un nombre noté f (x) et appelé image de x par f  ». Les problèmes posés par ce type de formulation sont multiples :

  • ce n’est qu’une pseudo-définition, puisqu’elle ne décrit pas une fonction à partir de termes mathématiques, mais renvoie à des idées usuelles, mais vagues, de «  procédé  », «  processus  », etc. Pour éclairer ces termes, on est souvent amené à évoquer l’idée de la «  boîte noire  », de la «  machine  », qui transforme un nombre, par exemple, ou la position d’un point, en un nombre, un point, etc. Il y a une «  entrée  », un mécanisme interne (bruitages…), et une «  sortie  »… Pour les puristes, ces approximations semblent exagérées. C’est pourtant bien utile aux élèves !
  • La construction de la phrase : « … associe à… un…  », difficile à éviter, n’est pas claire pour les élèves ;
  • quand, en trois lignes, on trouve dans le cours «  définition : on appelle fonction…  », puis «  définir une fonction, c’est…  », et à peine plus loin, le terme «  ensemble de définition de la fonction  », la variété des emplois du verbe définir et du mot définition fait un peu tourner la tête !
  • La notation f (x), lue «  f de x  », utilisée pour désigner le nombre qui «  sort  » de la «  machine  » f quand on y a fait entrer le nombre x, est particulièrement difficile à assimiler : en particulier parce que les parenthèses ne jouent pas du tout ici le même rôle que dans les expressions avec des opérations, que l’élève a péniblement assimilées auparavant.

 

Références :
«  Le rôle du professeur pour permettre à l’élève de prendre part à la construction collective du savoir  » Diaporama de formation PAF Bordeaux : http://slideplayer.fr/slide/1324987/

Le site de Maths et tiques : http://www.maths-et-tiques.fr/

`Un exemple d’activité d’introduction intuitive dès la 5e : http://maths.ac-orleans-tours.fr/ressources_college/boite_a_idees_college/

Sur la librairie

 

Des maths pour tous
Plus que jamais, la question des «  mathématiques pour tous  » se pose. Elle implique qu’on cesse d’appliquer partout et à tous le même «  traitement  » mathématique, et qu’on prenne en compte le rapport spécifique aux maths que chaque élève a construit en fonction de son histoire scolaire, familiale, et personnelle.


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