Tous géométres !

Le projet «géométrie» a été proposé par un professeur référent aux classes de CM2. Ses interventions en coanimation ou en soutien auprès de petits groupes des classes de 6e lui permettent de constater qu’en mathématiques et notamment en géométrie les erreurs sont élevées : elles sont liées à l’identification perceptive des objets (une droite qui traverse des lettres), à l’incompréhension des consignes écrites, à une mauvaise compréhension des consignes données par une figure à main levée (absence de notion de figure comme représentation : la figure est appréhendée comme un dessin).

En se penchant sur les programmes de CM2 et de 6e, le référent constate qu’il y a peu de notions nouvelles. Ce qui est vrai. En revanche, ce qui diffère c’est la manière de les aborder.

L’entente avec les professeurs de maths va lui permettre d’échanger avec eux sur leurs attentes en géométrie, sur ce qu’ils aimeraient que les élèves sachent en arrivant au collège. Ces échanges vont permettre de construire son projet «géométrie».

J’ai assisté à deux séances dans une classe de CM2. L’une reposait sur les tracés de figures et l’autre sur l’écriture de programmes de construction. Ces séances sont basées sur un répertoire d’exercices de difficulté progressive choisis pour leur intérêt passerelle. Chaque séance s’attache à obtenir une utilisation rigoureuse du vocabulaire. Les élèves connaissent les notions de «droite», «demi-droite», «segment», mais l’objectif est d’utiliser ces termes avec toute la rigueur imposée par la matière. Donc, chaque séance va exiger un vocabulaire précis. L’à peu près ne convient pas et lorsque «Non, ce que tu dis ne veut rien dire» ou «Je ne comprends pas ce que tu dis» sont verbalisés, l’élève rectifie de lui-même. Aucun enfant ne se perd, on ne lui en laisse pas le temps et on perçoit vite qu’il donne du sens à ce qu’il fait parce que précisément, il sait où il est : sur une matière rigoureuse qui ne permet pas l’approximation.

Ma surprise est venue du fait d’entendre des élèves parler longuement avec un vocabulaire juste. Il faut croire que nous n’avons plus l’habitude de cela en RAR. Les élèves énoncent, affinent si nécessaire, rectifient très vite dès qu’ils sont arrêtés dans leur démonstration. On peut entendre des élèves penser et raisonner. Même si l’exercice est difficile, aucun ne renonce. L’effort semble même jubilatoire comme si eux-mêmes étaient surpris de pouvoir utiliser et à bon escient des mots qui sonnent dans de longues phrases, elles-mêmes convenables et comprises par tous les autres ! Ils apprennent également que plusieurs stratégies sont possibles et qu’elles peuvent être bonnes. Leur surprise est encore plus grande !

Le privilège des RAR est bien la présence des professeurs référents, indispensables à un réseau pour soulever les problématiques et impulser la réflexion collective et l’analyse des pratiques.

Le projet géométrie

A. Observations / réflexions qui ont fait naître le projet

1. Erreurs récurrentes en 6e

Dans le domaine de la géométrie, les erreurs constatées sont si nombreuses et variées qu’il serait hasardeux de prétendre en faire une taxinomie rigoureuse. Cependant 3 catégories récurrentes émergent :

– erreurs liées à l’identification perceptive des objets géométriques (à l’image mentale qu’en a l’élève, à la reconnaissance visuelle qu’il en opère) ;
– erreurs liées à une mauvaise compréhension des consignes écrites ;
– erreurs liées à une mauvaise compréhension des consignes données par une figure à main levée.

2. Proximité des programmes entre le CM2 et la 6e

De nombreuses notions figurent à la fois dans les programmes de l’école élémentaire et de la classe de 6e et peuvent donner l’impression qu’il y a peu de nouveautés en 6e. En réalité ces notions ne sont pas envisagées de la même manière.

3. Prise de conscience que les «éléments de base» de la géométrie (point, droite, segment, demi-droite) ne sont pas évidentes d’un point de vue conceptuel pour des élèves d’école élémentaire

– Et ce, que ce soit sur des éléments isolés : caractère infini d’une droite, existence d’une droite passant par deux points sans que la droite soit tracée…
– Ou dans des configurations de tracés : caractère sécant de deux droites qui ne le sont pas visiblement sur l’espace de la feuille, 3 points d’une droite définissent trois et non pas deux segments…

B. Le projet d’un point de vue pratique

– 2 à 3 séances d’une heure par semaine pendant 5 à 6 semaines. Importance du caractère massé et intensif pour les progrès des élèves.
– Séances basées sur un répertoire d’exercices de difficulté progressive organisés de manière spiralaire et choisis pour leur intérêt « passerelle ».
– Place prépondérante accordée à l’expression de l’élève.
– Constitution en fin de session d’un document répertoire des notions abordées (tableau qui fait un lien fort entre dessin, désignation orale et notation) qui sera poursuivi dans l’année de CM2 puis par le professeur de mathématiques de l’élève en 6ème.
– Évaluation (compétences) en fin de session.

C. Objectifs

1. Objectif de maîtrise de la langue

– Il est sous-jacent à tous les thèmes purement géométriques traités dans les exercices.
– Il ne s’agit pas tant ici d’enrichir un vocabulaire, mais plutôt de viser une utilisation la plus rigoureuse possible d’un nombre restreint de formulations préconisées. Faire en sorte que l’élève ait une connaissance la plus fine possible de ce que recouvre une formulation donnée.
– Par exemple, être capable d’identifier comme équivalentes les formulations «A, B, C sont alignés» et «A, B, C appartiennent à une même droite».

2. Objectifs purement géométriques

– Reconnaissance des représentations usuelles d’une droite, d’une demi-droite, d’un segment, notion d’appartenance, d’intersection
– Désignation orale et écrite et notation mathématiques (le respect absolu des désignations et notations préconisées nous semble être la meilleure façon de donner des repères sûrs)
– Maîtrise des tracés (ici rudimentaire)
– Compréhension des consignes de construction
– Aptitude à décrire une figure en glissant progressivement de l’utilisation de subordonnées relatives à des tournures abrégées, mais beaucoup plus denses et complexes pour aboutir enfin à des symboles et phrases mathématiques.

D. Effets

1. De portée générale

– Création d’une réflexion engageant professeurs de l’élémentaire et du secondaire par le biais du professeur référent, d’un document passerelle, harmonisation de pratiques.
– Investissement fort des élèves. Réinvestissement et appropriation par les professeurs du primaire comme du secondaire.

2. De portée langagière et géométrique

– Les difficultés conceptuelles sont en grande partie levées. Par exemple les élèves relèvent le caractère sécant de deux droites sans que cela soit visible sur le tracé. Les élèves comprennent l’existence d’une droite indépendamment du tracé qui en est fait ou non…
– Les élèves ont compris lors des exercices d’écriture de programme de construction, l’importance de l’attention qui doit être portée au langage mathématique. Ils ont largement accru leur exigence de précision dans le vocabulaire. L’usage des formulations traditionnelles est ancré.
– Les élèves passent plus facilement d’une lecture globale des dessins géométriques à une lecture ponctuelle (ils finissent très bien par comprendre qu’une consigne de construction peut engendrer deux dessins différents visuellement et qui pour autant sont corrects tous les deux.).
– La distinction s’établit entre «dessin» et «figure géométrique».
– Meilleure lecture et meilleure compréhension des consignes géométriques.
– Meilleure expression et meilleure description jusqu’à des configurations complexes.
– Les élèves commencent à comprendre et utiliser des connecteurs logiques «si…alors». Par exemple, ils disent : «Si A appartient à la droite (d1) et à la droite (d2) alors il est le point d’intersection de ces deux droites.»

Laurent Parussie
Professeur référent