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L’actualité éducative du N°475 de septembre-octobre 2009

Quelques réflexions impertinentes sur les nouveaux programmes de mathématiques en seconde

Par Françoise Colsaët

Un nouveau programme de seconde, nécessaire en prolongement des changements faits en collège, a d’abord été préparé en vue de la réforme du lycée, puis bricolé à la hâte quand elle a été « suspendue ». Après une consultation express entre mars et mai, il est modifié et publié en juillet, pour application en septembre. Cette précipitation ne pouvait permettre une vraie discussion du projet, ni l’élaboration de manuels. De plus, les suppressions massives de postes dans la même période ont créé un climat peu propice à la réflexion sur le fond. Tous les participants à la consultation, les syndicats et associations ont manifesté leur opposition à ces méthodes et ils ont eu raison. Mais au-delà, que penser de ce projet de programme ?

1. Deux mots sur la méthode

Le programme de mathématiques en collège a changé ces dernières années, en 3e en 08-09, il est donc prévu depuis longtemps qu’il changerait en seconde cette année. Comme une « réforme du lycée » était envisagée en même temps, le programme a été préparé en pensant à cette réforme. Puis, depuis l’abandon (pardon « la suspension ») de la réforme en décembre 08, on a bricolé à la hâte un nouveau programme capable de coller à la fois aux nouveaux programmes de collège et à un avenir complètement incertain sur les premières et terminales, car ce projet se voulait pérenne.
On nous le diffuse en mars, pour consultation ; il est modifié suite à la consultation, et la nouvelle version est connue depuis mi-mai, et ne sera officiellement publiée qu’en juillet. Tout cela est évidemment tout à fait hors des délais raisonnables, à la fois pour permettre une vraie discussion du projet, une diffusion, des formations, et l’élaboration de manuels. C’est d’ailleurs contraire à des principes qui ont été retenus il y a quelques années. De plus, les suppressions massives de postes dans la même période ne pouvaient que créer un climat peu propice à la réflexion sur le fond. Tous les participants à la consultation, les syndicats et associations ont manifesté leur opposition à ces méthodes et ils ont eu raison. Point évident, sur lequel je ne m’étends pas, ce qui ne veut pas dire que je ne le considère pas comme important.

2. Que penser de ce projet de programme ?

C’est du programme « post-consultation » que nous parlons. Cependant, il est intéressant de rappeler d’abord les modifications qui ont été apportées à la suite de la consultation. Le projet dont nous avons eu connaissance en mars comportait l’affirmation forte de la place des résolutions de problèmes et un choix de contenus à acquérir qui faisait disparaître la géométrie ; il introduisait un choix entre trois thèmes de travail (c’était le résultat de l’adaptation du projet après le renoncement à la réforme : réintégrer dans le programme « commun », mais sous forme de thèmes au choix, des contenus qui auraient pu faire partie de modules d’approfondissement).
Les thèmes au choix ont disparu, la partie sur l’algorithmique est maintenue, mais la forme de la présentation est modifiée (cela ne s’appelle plus contenus), et complétée par des « exemples » glissés dans les autres parties ; on remet un paragraphe sur les configurations du plan, un sur les vecteurs, un peu de trigo, et un sur la géométrie dans l’espace. Au passage, on en profite pour introduire un paragraphe entier sur les fonctions polynômes du second degré et les fonctions homographiques. Un certain nombre de formulations sont amendées pour tenter de calmer les inquiétudes des tenants de la technique, et on retrouve les coefficients directeurs de droites.

a. La question fondamentale : une classe de détermination ou la sélection des « futurs scientifiques » ?
La modification du texte n’a pas changé la réponse à cette question : le programme indique clairement, et c’est ce qui ressort aussi de la présentation qui nous en a été faite par les IPR, que les choix ont été faits pour une classe de détermination. La SMF [1] le dit aussi : « La classe de seconde est actuellement une classe de détermination. Elle semble devoir le rester en l’état actuel des projets de réformes. Son programme doit donc s’adresser à tous les élèves, quelle que soit leur poursuite d’études ultérieure (...). Il ne doit pas décourager ceux qui ne se destinent pas à une poursuite dans un domaine scientifique, mais au contraire leur permettre de développer des capacités de formalisation et de raisonnement. »
Le problème est que visiblement, tous n’ont pas la même idée de ce qu’il faut faire pour atteindre ce but. La SMF écrit : « Pour autant, cela n’implique pas que le programme de mathématiques de seconde et ses objectifs en termes de compétences et connaissances doivent s’aligner sur les élèves les plus faibles ou les moins motivés », et poursuit en parlant de « développer le goût des mathématiques » et « d’attirer (les élèves) vers les sciences ».
Il ne faut pas croire que ces positions sont absentes chez les « profs de base ». Sur ce sujet, la lecture de certains des points de vue émis (je n’ose dire rédigés) sur les sites, par exemple celui de l’APMEP, doit nous interroger : on y trouve des prises de position qui affirment sereinement qu’il faut sélectionner, qu’il faut que l’école « fasse peur » et « soit dure », que « la science est la gardienne des certitudes », et que de toutes façons, « on ne sait pas enseigner la science de manière intéressante ». Je m’arrête là, mais ce type d’intervention n’est pas rare dans ces forums...

b. Le programme doit-il aborder un peu de tout ?
Faut-il introduire des contenus « nouveaux » : logique, algorithmique, probabilités ? Peut-on faire « disparaître » certains chapitres : vecteurs, géométrie plane et de l’espace, etc.? Les arguments du type : « Le programme de seconde doit s’efforcer de réaliser un bon équilibre entre les différents domaines des mathématiques : algèbre, analyse, géométrie, probabilités et statistique, algorithmique » sont ceux qu’on a vu appliquer depuis 30 ans (et plus). On pourrait poser la question osée : et si, pendant, un an, les élèves ne « font » pas de géométrie, cela sera-t-il catastrophique ?
Certes, on peut entendre l’argument de la SMF : « ... l’enseignement des concepts scientifiques nécessite du temps. La présence d’un concept à plusieurs niveaux du cycle de formation permet aux élèves parmi lesquels très peu accèdent au sens et à la maîtrise du premier coup, de revenir sur la notion, de l’enrichir d’aspects nouveaux et de tisser de nouvelles relations avec ce qui a été vu entre temps (en mathématiques ou dans d’autres matières). » Mais, quand la première approche d’une notion est faite de façon superficielle, on ne peut dire qu’on « revient » l’année suivante dessus : on repart à zéro... d’autant plus que la réalité du quotidien nous montre souvent des classes dont une partie seulement a rencontré la notion en question.
On pourrait aussi essayer de comprendre l’esprit du programme (première version) autrement : il n’apporte pas de contenus nouveaux en géométrie, mais demande à ce que les problèmes travaillés fassent fonctionner les connaissances déjà abordées les années précédentes. Il me semble que cela nous demande une réflexion sur le long terme, sur l’ensemble de la scolarité : au lieu d’apporter chaque année une petite couche de connaissances « nouvelles », essayer d’approfondir suffisamment les chapitres abordés, de façon à permettre une utilisation de ces notions dans des problèmes suffisamment signifiants, de façon aussi à pouvoir y consacrer un temps suffisant pour ancrer les savoir-faire correspondants dans l’esprit des élèves ?

c. Que faut-il enseigner pour « former l’esprit » ?
La SMF dit aussi : « Si on souhaite réhabiliter le raisonnement et la recherche de problèmes, il est curieux de supprimer la partie des mathématiques qui, à ce niveau, permet de présenter et mettre en œuvre des démonstrations significatives et instructives. ». Qu’est-ce qui autorise à dire que c’est uniquement en faisant de la géométrie, des vecteurs et pas des stats et des probas ou autre chose qu’on peut « former l’esprit », faire apprendre la rigueur et le raisonnement, faire découvrir la beauté des mathématiques ?
Les prises des positions contre l’utilisation des TICE, contre les stats et les probas, mais aussi contre l’algorithmique témoignent souvent d’une méconnaissance de ce qu’on peut faire d’intelligent avec les élèves dans ces domaines. Le passage subtil « d’algorithmique » à « informatique » dans l’extrait suivant du texte de la SMF est révélateur de confusions trop fréquentes : « Le programme propose une initiation renforcée à l’algorithmique. (...) Un programme de transition ne peut qu’avoir des ambitions modestes en la matière. Il est nécessaire de réfléchir, dans le cadre de la future réforme du lycée, à la place de l’informatique dans les cours de mathématiques et dans le curriculum. »
La question de la formation des enseignants (et pas seulement d’eux) sur ces domaines est importante et doit être posée et traitée avec des plans de formation ambitieux, mais ne pourra être résolue sans la coopération des intéressés. Je comprends qu’on puisse regretter les domaines mathématiques qu’on a aimés dans notre propre formation, je comprends qu’on puisse être mal à l’aise dans des domaines où on est mal formés (moi la première, en stats et probas), mais cela ne peut être le critère central d’une réflexion d’ensemble sur l’évolution des programmes.
Enfin, il est probablement intéressant de poser autrement la question : est-ce en termes de contenus que doit être défini un programme ? La commission Inter Irem géométrie, écrit [2] à propos de l’introduction de thèmes optionnels : « Ceci ne constitue pas seulement une perte de temps mais aussi une erreur pédagogique (l’intérêt des sujets choisis n’étant pas en cause). Les élèves ne sont pas des jeunes chercheurs ou des spectateurs qu’on ait à divertir. Les enseignements optionnels empêchent de créer une culture commune, c’est-à-dire un socle sur lequel les enseignants futurs pourront bâtir. » Certes, un accord sur des objectifs de contenus et de vocabulaire à acquérir à certains niveaux est nécessaire. En effet, certaines notions ne peuvent être introduites qu’en s’appuyant sur des connaissances (disons que les maths forment un ensemble de maisons à plusieurs étages, et qu’il est difficile de bâtir le premier étage d’une maison sans avoir le rez-de-chaussée). Mais c’est ne pas comprendre que ce qui compte vraiment, c’est de faire réfléchir, raisonner les élèves, ( et non les « divertir », mais les intéresser).

d. Comment mettre en application ce programme ?
Le projet post-consultation a apparemment satisfait certains de ceux qui réclamaient des modifications, il me semble comporter des difficultés dans la mise en oeuvre au quotidien :
- d’une part la rédaction du contenu de certains paragraphes réintroduits (configurations, géométrie dans l’espace, vecteurs), mais aussi le passage des colonnes « capacités » ou « commentaires » vers la colonne « contenus » de certains éléments (fonctions du second degré, intervalle de confiance) me semble risquer d’induire des pratiques plus orientées vers l’exposé de contenus « à savoir » et à appliquer que cela n’était le cas dans le projet initial.
- l’ajout des paragraphes réclamés par une majorité lors de la consultation a nécessité la suppression des thèmes qui étaient prévus.
Ces deux facteurs conjugués réduisent considérablement, à mon avis, ce qui était l’intérêt principal du premier projet : la possibilité de prendre le temps de chercher des problèmes sans apport obligatoire de notions nouvelles, la possibilité de ne pas toujours soumettre la pratique du raisonnement à l’acquisition fine (et rapide) de techniques à maîtriser. On retrouve au contraire un défaut des programmes précédents, l’incitation à passer rapidement d’un chapitre à un autre, des notions à peine introduites sans les approfondissements permettant des mises en application porteuses de sens.
Qu’on ne me fasse pas dire ce que je ne dis pas : je crois, comme beaucoup, que les élèves qui feront des mathématiques de plus haut niveau devront acquérir des notions nouvelles et difficiles, qu’ils devront comprendre des techniques plus complexes. Mais on peut concevoir un programme pour tous qui permette de faire faire des mathématiques sans entrer encore dans ces notions.
Il reste aux enseignants de seconde à essayer de construire avec ce programme une progression qui en respecte à la fois les contenus et l’esprit : pour cela, il me semblerait utile que se mettent en place des moyens de travail en commun, qu’ils soient initiés dans chaque établissement par de petits groupes, ou par l’APMEP ou, pourquoi pas, l’inspection, sous la forme de listes d’échanges ou de groupes de travail numérique ?

3. La consultation et le rôle des associations

Toute cette période de réflexion et de débats a mis en évidence des positions étonnantes, décevantes et mêmes inquiétantes, à mes yeux, de la part de certaines associations ou organismes qui se chargent de la « défense » de l’enseignement des mathématiques.
Ainsi, dans de multiples passages, les prises de position de certaines Commissions inter irem comme celle de la SMF manifestent une méconnaissance totale de l’enseignement actuel des mathématiques, pas seulement dans le quotidien, mais même dans les textes qui le pilotent. Ainsi, les développements du texte de la commission Inter Irem géométrie sur la linéarisation des polynômes trigonométriques et les logiciels, sur le calcul vectoriel et les homothéties, sur le calcul algébrique et la théorie des équations : les réflexions historiques et épistémologiques savantes développées là sont très intéressantes, mais il semble que leurs auteurs ne se sont jamais posé la question de la réalité d’un élève et d’un professeur de seconde. Ils ne considèrent la question des programmes que sous l’angle d’une construction conceptuelle du savoir mathématique, qu’il est certes important que les concepteurs de programmes (et les enseignants) aient à l’esprit, mais qui ne peut à elle seule piloter la définition des programmes.

Cette position « surplombante » qu’on pouvait attendre de la SMF, est déjà plus surprenante de la part des IREM, dont l’image dans l’esprit du prof de base est encore celle d’un lieu de réflexion proche du « terrain ». On espérait, en ce qui concerne l’APMEP, plus proche encore des enseignants au quotidien, qu’elle prenne part au débat de façon autrement que ce qu’on a constaté. L’APMEP, a été depuis longtemps, un lieu riche de productions, de réflexions sur les pratiques. Actuellement, et depuis pas mal de temps, force est de dire que ses propositions se sont centrées sur quelques questions (option de seconde, horaire, épreuve expérimentale), et qu’elle n’a pas développé, au moins dans ses bulletins et sur son site, de réflexion de fond autour de la question fondamentale : un enseignement de mathématiques pour qui ? pour quoi ? Pourtant il y a toujours des textes intéressants de certains de ses membres actifs, qui font des analyses judicieuses, mais on dirait que l’association, dans ses positions et son action publique, ne les utilise pas. Je pense que beaucoup de militants APM sont à la fois intelligents et de bonne foi, qu’ils souhaitent oeuvrer au développement de l’enseignement des maths. Quels que soient les slogans affichés, les propositions de fond développent souvent un esprit qui est : tirons le plus possible vers le haut jusqu’en seconde, pour trier ceux qui le « méritent », et ensuite on ne travaille plus que pour ceux-là....
Il est assez déprimant de voir que la réaction de l’APMEP aux modifications du programme post-consultation tienne en gros en ces mots de la présidente : « ..si la géométrie et les vecteurs sont bien présents dans les programmes de seconde, on peut être optimiste pour ( pour les élèves de seconde qui seront en S à la rentrée 2010)... La génération 2009 est sauvée, mais après ? » [3]

Françoise Colsaët, professeure de mathématiques en lycée dans le Vaucluse.

Programmation 2014-2015 Lire la réponse du groupe des mathématiques de l’Inspection générale de l’Éducation nationale (18 novembre 2009)