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N°472 - Dossier "Les sciences économiques et sociales"

Des mathématiques en ES

Par Louis-Marie Bonneval

Une réflexion sur le travail interdisciplinaire mathématiques/SES et sur la recherche d’un langage commun.

La filière B, devenue ES, a été conçue entre autres pour permettre des études de sciences économiques après le baccalauréat. Or il s’avère qu’une proportion importante de bacheliers ES renoncent à cette voie en raison du niveau mathématique requis.
On peut considérer que le rôle des mathématiques en économie est excessif voire pervers [1]. Quoi qu’il en soit, le fait est qu’actuellement les études supérieures d’économie font appel à des notions mathématiques élaborées, que les étudiants ont beaucoup de difficultés à maîtriser s’ils n’ont pas acquis au lycée les savoir-faire de base. C’est pourquoi en général les conseillers d’orientation conseillent aux élèves de Seconde qui envisagent ce type d’études de suivre en Première comme en Terminale les enseignements optionnels de mathématiques plutôt que ceux de SES. Encore faut-il qu’ils maîtrisent ce programme renforcé : beaucoup d’élèves de ES se sentent peu sûrs d’eux en mathématiques, et malheureusement l’horaire serré ne permet guère au professeur de s’attarder sur les élèves en difficulté ...
Une des réponses à ce problème est le travail interdisciplinaire mathématiques-SES. Ce travail est difficile, car la plupart des professeurs de mathématiques n’ont pas de formation en économie, et certains professeurs de SES sont mal à l’aise avec les mathématiques. Il est néanmoins nécessaire, comme le suggère l’annexe aux programmes de SES intitulée Savoir faire applicables à des données quantitatives, exigibles à l’épreuve de sciences économiques et sociales du baccalauréat de la série ES [2]. Les notions évoquées concernent principalement ce que les programmes de mathématiques de ES appellent "information chiffrée". Mais d’autres domaines sont également concernés : analyse, probabilités et même géométrie.
Je développe ci-dessous quelques thèmes qui montrent la variété tant des outils mathématiques que des contenus économiques ou sociaux concernés. Ils ne prétendent pas à l’exhaustivité.

Les pourcentages

Nous savons tous la difficulté que présente pour les élèves (et pour beaucoup d’adultes) une pratique intelligente des pourcentages. Une des causes en est que la même écriture recouvre des notions différentes.

Un pourcentage n’est rien d’autre qu’une façon d’écrire les nombres décimaux : . Cette écriture est utilisée couramment pour écrire les fréquences et les taux d’évolution (et bien d’autres choses, comme les probabilités ...). Mais ce sont les propriétés des fréquences et des taux d’évolution qu’il s’agit d’étudier :

- La fréquence (ou proportion) d’une sous-population A dans une population E est le rapport de l’effectif de A à l’effectif de E. Elle peut s’exprimer sous forme fractionnaire, ou décimale, ou de pourcentage : .
Elle a des propriétés simples, notamment :
(1) si p est la proportion de A dans E, et p’ la proportion de B dans E, et si A et B sont disjoints, alors p+p’ est la proportion de A∪B dans E.
(2) si p est la proportion de A dans E, et p’ la proportion de E dans F, alors pp’ est la proportion de A dans F.
Ces deux propriétés n’ont rien à voir avec les pourcentages, elles restent vraies si p et p’ sont écrits sous forme décimale ou fractionnaire. C’est pourtant elles qui sont évoquées par le programme de mathématiques de Première ES sous le libellé "addition de pourcentages" ou "pourcentages de pourcentages".

- Le taux d’évolution de y1 à y2 est le nombre . Les économistes l’appellent souvent taux de croissance. On l’appelle aussi variation relative (par opposition à la variation absolue y2 - y1). On peut l’exprimer sous forme décimale, ou de fraction, ou de pourcentage.
Il a quelques propriétés importantes, notamment :
(3) si t est le taux d’évolution de y1 à y2 , alors y2 = y1 (1+t) ;
(4) si t est le taux d’évolution de y1 à y2, et t’ le taux d’évolution de y2 à y3, alors le taux d’évolution de y1 à y3 est (1+t)(1+t’)-1.
(5) si t est le taux d’évolution de y1 à y2, alors le taux d’évolution de y2 à y1 est .
Ces propriétés n’ont rien à voir avec les pourcentages, elles restent vraies si t et t’ sont écrits sous forme décimale ou fractionnaire. C’est pourtant sous la rubrique "pourcentages" qu’apparaît dans le programme de mathématiques de Première ES le libellé "Augmentations et baisses successives".
Il me semble indispensable qu’un travail commun entre le professeur de mathématiques et le professeur de SES dégonfle la baudruche "pourcentages", et sécurise les élèves par l’adoption d’un langage commun simple et clair. En particulier, il faut bannir ce fatras inutile de règles de trois ou de multiplications par 100 : quand on a écrit quelques égalités du style 0,02 = 2 %, on sait convertir les écritures !
Certains pièges du langage courant sont facilement déjoués avec le vocabulaire adéquat : si une fréquence passe de 1% à 2%, sa variation relative est +100%, alors que sa variation absolue est +1%. Un travail très utile est d’ailleurs de débusquer l’implicite dans les expressions courantes : une augmentation de 10% est une augmentation relative, une augmentation de 0,1 est une augmentation absolue, une augmentation d’un dixième peut être absolue ou relative selon le contexte ...

Les fonctions de coût, le coût marginal

On considère une entreprise, produisant au cours d’une période une quantité q d’un certain produit. On note C le coût total de cette production. On appelle fonction de coût la fonction f, positive et croissante, telle que C = f(q). Le coût fixe est f(0), le coût variable f(q)-f(0). Le coût moyen unitaire est alors défini par , et le coût marginal par f ’(q).
La théorie néo classique élémentaire fait deux hypothèses :
- rendements décroissants : à partir d’un certain seuil, le coût marginal augmente quand la quantité augmente. Autrement dit f ’ est croissante (f est convexe) sur un intervalle [qo, + ∝[. Sous cette hypothèse, le coût moyen est minimal sur cet intervalle quand il est égal au coût marginal.

- concurrence parfaite : le prix de vente unitaire p est imposé à l’entreprise par le marché, et à ce prix elle vend toute sa production. Sous cette hypothèse (et la précédente), le profit est maximal quand le coût marginal est égal au prix de vente.
La notion de coût marginal permet une réflexion sur le sens du nombre dérivé. Les économistes l’interprètent en effet comme le coût de production d’une unité supplémentaire, ou le coût de la dernière unité produite : cela revient à identifier f ’(q) à f(q+1)-f(q) ou à f(q)-f(q 1). Cette approximation, justifiée si q est assez grand et f assez régulière, consiste à identifier localement la courbe de f avec sa tangente.

Les tableaux de contingence

Un tableau de contingence résume l’information relative à deux variables statistiques sur une même population.
Prenons l’exemple d’une enquête. A la question : "Regardez-vous les matches de football à la télévision ?", 40 jeunes ont répondu de la façon suivante :

Oui Non
Garçons 20 4
Filles 10 6

On veut étudier comment le sexe influence la réponse.
La proportion de OUI dans la population totale est 75 %. Si la proportion de OUI était 75% dans la population des garçons et 75% dans la population des filles (autrement dit si les fréquences conditionnelles étaient égales aux fréquences marginales), il serait naturel de dire que la réponse est indépendante du sexe. Le tableau des effectifs serait alors un tableau de proportionnalité, facile à reconstituer (en supposant inchangés les effectifs marginaux) :

Oui Non
Garçons 18 6 24
Filles 12 4 16
30 10 40

Le tableau des fréquences aurait alors une propriété remarquable : chaque fréquence conjointe serait le produit de ses deux fréquences marginales (celle du bout de ligne et celle du bout de colonne) :

Oui Non
Garçons 0,45 0,15 0,60
Filles 0,30 0,10 0,40
0,75 0,25 1

La comparaison avec le tableau réel des fréquences :

Oui Non
Garçons 0,50 0,10 0,60
Filles 0,25 0,15 0,40
0,75 0,25 1

met alors en évidence les sous-représentations (les garçons qui ont répondu non, les filles qui ont répondu oui) et les sur-représentations (les garçons qui ont répondu oui, les filles qui ont répondu non).

L’analyse peut être reprise avec le langage des probabilités, en considérant l’épreuve qui consiste à choisir au hasard un individu dans la population. La probabilité si on est un garçon de répondre oui est supérieure à la probabilité de répondre oui ; la probabilité si on est une fille de répondre oui est inférieure à la probabilité de répondre oui. Cela confirme la dépendance entre le sexe et la réponse. L’indépendance quant à elle s’écrirait P(O/G) = P(O) c’est-à-dire P(O∩G)=P(O)P(G) : c’est la propriété du premier tableau de fréquences ci-dessus.

A priori ces conclusions ne concernent que le groupe étudié. Si l’on veut inférer un jugement général sur l’attitude des garçons et des filles vis-à-vis des émissions de football, il faut considérer ce groupe comme un échantillon d’une population plus vaste. On doit alors se demander si cet échantillon est représentatif de la population ; et dans l’affirmative, si l’écart entre les fréquences observées et les fréquences théoriques est significatif, c’est-à-dire si la fluctuation d’échantillonnage ne suffit pas à l’expliquer. Bien que l’étude complète dépasse le niveau du lycée, en mathématiques les lycéens sont sensibilisés à cette problématique dès la classe de Seconde.

Pour le professeur de sciences économiques et sociales, un exemple classique est l’analyse des tables de mobilité sociale, qui renseignent sur l’évolution de la répartition de la population en PCS (professions et catégories socioprofessionnelles) d’une génération à la suivante.

Le multiplicateur d’investissement

On sait que, dans un pays, une politique de grands travaux peut avoir un effet "boule de neige" sur l’économie : cet investissement va faire fonctionner des entreprises, qui vont donc distribuer du revenu ; ce revenu va être dépensé, ce qui va faire fonctionner d’autres entreprises, etc.
On peut traduire cette idée dans le modèle macro économique de base, ce qui permet de la quantifier.
Notons R le revenu global, C la consommation globale, I l’investissement global.
On fait l’hypothèse que la propension marginale à consommer c = est constante sur le moyen terme : cela signifie qu’une variation de revenu ∆R entraîne une variation de consommation c∆R .
On suppose aussi que l’économie est fermée, de sorte que tout le revenu distribué est dépensé à l’intérieur du pays.
Considérons alors une augmentation ∆I de l’investissement global. Elle entraîne immédiatement une augmentation de revenu ∆I pour les entreprises qui fournissent les biens concernés. Ce revenu est distribué entre les propriétaires et les employés de ces entreprises. Cela entraîne une augmentation de consommation c∆I, qui crée une augmentation de revenu c∆I pour les entreprises. Celle-ci entraîne à son tour une augmentation de consommation c2∆I, qui crée une augmentation de revenu c2∆I. Etc.
Au bout de n périodes, l’augmentation de revenu est (1=c=c2+ ... +cn-1)∆I, c’est-à-dire .
Comme 0 < c < 1, cn est assez vite négligeable devant 1.
On peut donc considérer qu’en fin de compte, le revenu global a été augmenté d’une quantité .
Le nombre s’appelle le multiplicateur d’investissement.
Par exemple, si la propension marginale à consommer est 0,8, le multiplicateur d’investissement est égal à 5 : une augmentation d’investissement crée une augmentation de revenu 5 fois plus grande.

Conclusion

Ces quelques exemples montrent l’intérêt didactique de la liaison mathématiques-SES. Elle permet une réflexion formatrice sur la démarche de modélisation. En variant les approches, elle facilite l’acquisition des concepts de l’une comme de l’autre discipline.
Elle trouve sa place assez naturellement au lycée, par exemple dans le cadre des Travaux Personnels Encadrés. Les enseignants qui acceptent de s’y engager y trouvent leur compte : en décloisonnant le savoir, l’échange permet un enrichissement mutuel et un nouveau regard sur sa propre discipline.

Louis-Marie Bonneval, APMEP [3].


[1Voir par exemple http://www.autisme-economie.org/

[2Les programmes de SES sont disponibles sur http://eduscol.education.fr/D0019/L...,
ceux de mathématiques sur http://eduscol.education.fr/D0015/L....

[3Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public.


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